El número perfecto

En este post he decidido seguir con las curiosidades matemáticas y sus aplicaciones en la naturaleza y la vida. Posiblemente será a partir del próximo post cuando cambie de dirección y pase a hablar de arte, concretamente el impresionismo en la pintura.

De los dos blogs que tengo activos, uno de ellos está dedicado exclusivamente al marketing, con el nombre genérico de MBA de Carlos Borrás, (MBA significa marketing bien aplicado), y el otro blog está dedicado al comentario cotidiano y de divulgación, como es el caso de este post.

Los tres últimos, dedicados a las matemáticas y su repercusión en la vida y naturaleza, han tenido un nivel de lectura aceptable, por lo que dedico este cuarto post sobre la misma materia a los números perfectos.

Si a una persona se le pregunta qué considera un número perfecto, la mayoría de las respuestas se centrarán en aspectos externos, tales como el 8, que es un número que se lee igual al derecho que al revés, o bien otros dirán su número preferido. Sin embargo, en matemáticas el número perfecto es algo bien diferente.

Un número perfecto es aquel en el que la suma de sus divisores es igual al propio número. Las propiedades de los números perfectos fueron tratadas por primera vez por Euclides en su obra Los Elementos.

El primero número perfecto es el 6. Sus divisores son 1, 2 y 3.  Y la suma de 1+2+3 es igual a 6. Sin embargo, hay que llegar hasta el número 28 para encontrar el segundo número perfecto. La suma de sus divisores 1, 2, 4, 7 y 14 es 28. No hay ninguno antes, salvo el 6. Y lo más curioso, todos los número perfectos que se vayan calculando, van a terminar en 6 o en 28.

Hasta el número 496 no hay ningún otro número perfecto. 496 es la suma de 1+2+4+8+16+31+62+124+248. Lógicamente, todos divisores de 496.

El cuarto es el 8.128. Usando los ordenadores y mediante las fórmulas oportunas, que omito para no enmarañar el post, se han ido calculando los números perfectos siguientes. A título orientativo, expongo los 6 primeros.

6

28

496

8.128

33.550.336

8.589.869.056

También Pitágoras, y muchos de sus discípulos, se interesaron por los números perfectos y sus conexiones en geometría. Todos los números perfectos son números hexagonales y así pueden representarse si se desea.

Pero, ¿dónde está la aplicación práctica de estos números en la naturaleza, por ejemplo?. Pues resulta que la forma más eficiente de cubrir la totalidad de un plano sin dejar huecos, es mediante hexágonos. Al decir eficaz estamos diciendo que a igualdad de área comparado con alguna otra forma el perímetro total siempre será menor.

Y esta es la causa de que existan los paneles de las abejas en forma hexagonal, que parece que las abejas conocen muy bien que un hexágono es la forma más eficaz para construir los paneles de miel. Es decir, usar la cantidad mínima de cera para construir el máximo número de celdas. Esto ya fue mencionado por Pappus de Alejandría (siglo III después de Cristo), aunque tuvieron que pasar bastantes siglos hasta que el matemático Thomas C. Hales demostrara en 1999  lo que hoy se conoce como el teorema del panal.

No me voy a extender más en este post. Hay conexiones entre los números perfectos y otros números particulares, como los primos de Mersenne, pero no es aplicable extender más este post hasta más allá de divulgar el concepto de números perfectos y sus conexiones con la realidad. Las matemáticas no son solamente teoría sino que su aplicación a la vida es pura realidad. Espero que en estos cuatro recientes posts haya logrado este propósito divulgativo.