Curiosidades de "e"

En mis dos posts precedentes he optado por temas que me parecen bonitos pero que posiblemente no agraden a todos. El post anterior trataba del número Pi, y el precedente a ése trataba del número áureo o proporción áurea, con todas las curiosidades y propiedades de dichos  números, así como las investigaciones que se les han dedicado. He seguido optando por la valentía, sobre todo al ver que son posts que han sido bastante leídos, y posiblemente siga apostando por las matemáticas prácticas y curiosas en los posts siguientes.

Al igual que el número áureo, y el número Pi, el número e es un número irracional, (de infinitas cifras decimales), no expresable mediante una razón de dos números enteros; o bien, que no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periódico. Además, también como en el caso de Pi, es un número trascendente, es decir, que tampoco puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.

El valor aproximado de e = 2,71828….

Algunos números se han hecho famosos por las profundas investigaciones que se han hecho sobre ellos, y se bautizan con una nomenclatura especial, tales como π, Φ, i, y e. Lo mismo que Pi es trascendental en la geometría, e lo es para el cálculo, sobre todo en cálculos secuenciales.

Se dice que a finales del siglo XVI las dos grandes potencias marítimas del momento, España e Inglaterra ofrecían importantes sumas de dinero a quién descubriese algún  método que facilitase los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y a la astronomía.

El primero en tratar con el número e fue el escocés John Napier quien descubrió en 1614 los logaritmos naturales. (Con base e). Gracias a los logaritmos (a los que Napier llamó “números artificiales”), las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas y las potencias por productos, lo que simplificó mucho la realización manual de los cálculos matemáticos.

Como explicamos en el caso del número áureo, también existen coincidencias en la naturaleza con el número e, como son la caída de una tela de araña, la catenaria de un tendido eléctrico, el cálculo de la antigüedad de las cosas, o el interés compuesto, utilizado actualmente por los bancos.

Esta es la fórmula para calcular el número e:

Posiblemente el primero en llamar “e” fue Leonhard Euler, en 1727. En 1748 Euler llegó a calcular su valor con 23 decimales utilizando series infinitas.

e es el único número en el que se cumple que la derivada de la función exponencial f(x) = ax en el punto x = 0 es igual a 1.

Algunas curiosidades

Para acordarse de sus principales decimales, se puede observar que después del “2,7” el número “1828” aparece dos veces, y después vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles que son 45°, 90°, 45°, es decir: 2,718281828459045. Es una regla mnemotécnica, (aunque no sirve para mucho).

En 1873 Charles Hermite demostró que e es trascendente (no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales), como es también el caso de Pi.

El hecho ya apuntado al principio de que el número e está presente en la caída de una tela de araña, del cable de un tendido eléctrico, que sirve para el cálculo mediante el carbono 14 de la edad de un fósil, o ser el origen del interés compuesto de una cuenta bancaria o del cálculo del crecimiento de una población de bacterias.

Este post tiene la estructura y extensión que he querido darle, porque en los anteriores he tenido respuestas de todo tipo: que si faltaban fórmulas para comprenderlo, o bien que sobraban fórmulas. Aquí he adoptado una fórmula intermedia, con gráficos sencillos de comprender.

Tal vez para el próximo post me atreva con los números perfectos, para cambiar de tercio un poco más adelante, entrando en el arte impresionista en la pintura. Curioso giro, ¿no?.