Impresionismo, ¡impresionante!

En este post he decidido cambiar la temática anteriormente reciente de las matemáticas y su conexión con la vida real, que han sido objeto de los cuatro posts anteriores, abordando inicialmente el arte, para tener un nuevo tema de expresión e intercambio de ideas en mi blog.

Podría haber escogido una forma cronológica para analizar el arte, pero he decidido iniciarlo con la pintura, y comenzando por el impresionismo, aunque sea una de las formas de expresión artísticas más recientes.

Definimos el impresionismo como un movimiento pictórico que surge a finales del siglo XIX. Básicamente su origen y máxima representación surge en Francia. Se considera que en cierta manera es una reacción contra el arte académico imperante, y es el punto de partida del arte contemporáneo. Los pintores impresionistas retrataban objetos basándose en la impresión que la luz produce en la vista, dejando de lado la clásica visión “realista”. Tiene tendencia al uso de los colores primarios, evitando mezclarlos, y huyendo de los tonos oscuros.

El impresionismo busca sobre todo plasmar la luz y los efectos de la misma en las personas, a través del lienzo del pintor. Entre las características más destacables del impresionismo en la pintura podemos considerar que el pintor impresionista no pinta en el taller, sino que sale a la calle, siendo el paisaje, rural o urbano, el tema principal. Se busca el contacto con la naturaleza, estar al aire libre, plasmar el efecto instantáneo de una visión personal del artista, con base en la luz, y en los tres colores primarios, amarillos, azul y rojo. La técnica es rápida, con pinceladas largas y con cierto exceso de pintura. El color negro es poco frecuente en la pintura impresionista, siendo las sombras ligeramente coloreadas. También, de alguna manera, el blanco puro no es utilizado sino sustituido por matices lumínicos de los colores. Finalmente, algo muy curioso y característico es la ausencia de perspectiva, reforzando la idea de que lo que vemos es la expresión de un instante concreto.

En el impresionismo se abordan temas de la vida cotidiana, pintados al natural, casi siempre en exteriores, y captando un instante determinado.

Tomemos como base el cuadro: Impresión, sol naciente, que fue pintado por Monet durante una breve estancia en El Havre en 1873.

Dada la ruptura que esta técnica pictórica suponía, los pintores impresionistas a veces tenían que crear su propio entorno, como fue la Sociedad Anónima de Pintores, como una alternativa al tradicional Salón, que dependía del Estado, que acogía a los artistas que proponían una renovación profunda de las artes.

El cuadro mencionado de Monet, que se expuso en esta muestra alternativa, provocó que un periodista, teórico crítico de arte, escribiera un artículo en cierto tono burlón en el que definía a estos nuevos pintores como “impresionistas”, término que acabó por ser la denominación definitiva de este movimiento pictórico.

La reacción de este periodista fue comprensible porque la pintura de Monet no seguía las normas características de las convenciones artísticas.

Se criticaba que la obra se parece más a un esbozo que a un cuadro terminado, ya que tiene unas pinceladas sueltas que dan cierta sensación de improvisación, (características del impresionismo). Esto se debía al propósito deliberado de la técnica impresionista, que es captar un momento fugaz, generalmente al aire libre, realizado en el caso de Monet desde una ventana situada frente al muelle de El Havre, captando la imagen del amanecer antes de que cambiara. Resumiendo, a Monet no le interesaba en absoluto el detalle, sino plasmar el momento concreto de la imagen. Expresaba con frecuencia la atmósfera, la intensidad lumínica y los reflejos acuosos.

En el caso de este cuadro de Monet, la sensación de movimiento en el agua se logra plasmando pinceladas en la superficie y un reflejo anaranjado del sol en la superficie del agua.

Como precursor del impresionismo se considera a Edouard  Manet, aunque también se le ha considerado como el primer impresionista, ya que fue el primero que manifestó  que utilizando colores fuertes y contrastados se podía ob

tener la representación de la luz  por la yuxtaposición de colores.

Los más destacados impresionistas han sido: Claude Monet, Edgar Degas, Auguste Renoir, Berthe Morisot, Camille Pisarro y Alfred Sisley.

En futuros posts no descarto volver a tratar temas de nuevo sobre las matemáticas en la vida real, y abordar nuevas manifestaciones artísticas, todo en aras de hacer ameno, variado e instructivo este Blog.

El número perfecto

En este post he decidido seguir con las curiosidades matemáticas y sus aplicaciones en la naturaleza y la vida. Posiblemente será a partir del próximo post cuando cambie de dirección y pase a hablar de arte, concretamente el impresionismo en la pintura.

De los dos blogs que tengo activos, uno de ellos está dedicado exclusivamente al marketing, con el nombre genérico de MBA de Carlos Borrás, (MBA significa marketing bien aplicado), y el otro blog está dedicado al comentario cotidiano y de divulgación, como es el caso de este post.

Los tres últimos, dedicados a las matemáticas y su repercusión en la vida y naturaleza, han tenido un nivel de lectura aceptable, por lo que dedico este cuarto post sobre la misma materia a los números perfectos.

Si a una persona se le pregunta qué considera un número perfecto, la mayoría de las respuestas se centrarán en aspectos externos, tales como el 8, que es un número que se lee igual al derecho que al revés, o bien otros dirán su número preferido. Sin embargo, en matemáticas el número perfecto es algo bien diferente.

Un número perfecto es aquel en el que la suma de sus divisores es igual al propio número. Las propiedades de los números perfectos fueron tratadas por primera vez por Euclides en su obra Los Elementos.

El primero número perfecto es el 6. Sus divisores son 1, 2 y 3.  Y la suma de 1+2+3 es igual a 6. Sin embargo, hay que llegar hasta el número 28 para encontrar el segundo número perfecto. La suma de sus divisores 1, 2, 4, 7 y 14 es 28. No hay ninguno antes, salvo el 6. Y lo más curioso, todos los número perfectos que se vayan calculando, van a terminar en 6 o en 28.

Hasta el número 496 no hay ningún otro número perfecto. 496 es la suma de 1+2+4+8+16+31+62+124+248. Lógicamente, todos divisores de 496.

El cuarto es el 8.128. Usando los ordenadores y mediante las fórmulas oportunas, que omito para no enmarañar el post, se han ido calculando los números perfectos siguientes. A título orientativo, expongo los 6 primeros.

6

28

496

8.128

33.550.336

8.589.869.056

También Pitágoras, y muchos de sus discípulos, se interesaron por los números perfectos y sus conexiones en geometría. Todos los números perfectos son números hexagonales y así pueden representarse si se desea.

Pero, ¿dónde está la aplicación práctica de estos números en la naturaleza, por ejemplo?. Pues resulta que la forma más eficiente de cubrir la totalidad de un plano sin dejar huecos, es mediante hexágonos. Al decir eficaz estamos diciendo que a igualdad de área comparado con alguna otra forma el perímetro total siempre será menor.

Y esta es la causa de que existan los paneles de las abejas en forma hexagonal, que parece que las abejas conocen muy bien que un hexágono es la forma más eficaz para construir los paneles de miel. Es decir, usar la cantidad mínima de cera para construir el máximo número de celdas. Esto ya fue mencionado por Pappus de Alejandría (siglo III después de Cristo), aunque tuvieron que pasar bastantes siglos hasta que el matemático Thomas C. Hales demostrara en 1999  lo que hoy se conoce como el teorema del panal.

No me voy a extender más en este post. Hay conexiones entre los números perfectos y otros números particulares, como los primos de Mersenne, pero no es aplicable extender más este post hasta más allá de divulgar el concepto de números perfectos y sus conexiones con la realidad. Las matemáticas no son solamente teoría sino que su aplicación a la vida es pura realidad. Espero que en estos cuatro recientes posts haya logrado este propósito divulgativo.

Curiosidades de "e"

En mis dos posts precedentes he optado por temas que me parecen bonitos pero que posiblemente no agraden a todos. El post anterior trataba del número Pi, y el precedente a ése trataba del número áureo o proporción áurea, con todas las curiosidades y propiedades de dichos  números, así como las investigaciones que se les han dedicado. He seguido optando por la valentía, sobre todo al ver que son posts que han sido bastante leídos, y posiblemente siga apostando por las matemáticas prácticas y curiosas en los posts siguientes.

Al igual que el número áureo, y el número Pi, el número e es un número irracional, (de infinitas cifras decimales), no expresable mediante una razón de dos números enteros; o bien, que no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periódico. Además, también como en el caso de Pi, es un número trascendente, es decir, que tampoco puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.

El valor aproximado de e = 2,71828….

Algunos números se han hecho famosos por las profundas investigaciones que se han hecho sobre ellos, y se bautizan con una nomenclatura especial, tales como π, Φ, i, y e. Lo mismo que Pi es trascendental en la geometría, e lo es para el cálculo, sobre todo en cálculos secuenciales.

Se dice que a finales del siglo XVI las dos grandes potencias marítimas del momento, España e Inglaterra ofrecían importantes sumas de dinero a quién descubriese algún  método que facilitase los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y a la astronomía.

El primero en tratar con el número e fue el escocés John Napier quien descubrió en 1614 los logaritmos naturales. (Con base e). Gracias a los logaritmos (a los que Napier llamó “números artificiales”), las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas y las potencias por productos, lo que simplificó mucho la realización manual de los cálculos matemáticos.

Como explicamos en el caso del número áureo, también existen coincidencias en la naturaleza con el número e, como son la caída de una tela de araña, la catenaria de un tendido eléctrico, el cálculo de la antigüedad de las cosas, o el interés compuesto, utilizado actualmente por los bancos.

Esta es la fórmula para calcular el número e:

Posiblemente el primero en llamar “e” fue Leonhard Euler, en 1727. En 1748 Euler llegó a calcular su valor con 23 decimales utilizando series infinitas.

e es el único número en el que se cumple que la derivada de la función exponencial f(x) = ax en el punto x = 0 es igual a 1.

Algunas curiosidades

Para acordarse de sus principales decimales, se puede observar que después del “2,7” el número “1828” aparece dos veces, y después vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles que son 45°, 90°, 45°, es decir: 2,718281828459045. Es una regla mnemotécnica, (aunque no sirve para mucho).

En 1873 Charles Hermite demostró que e es trascendente (no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales), como es también el caso de Pi.

El hecho ya apuntado al principio de que el número e está presente en la caída de una tela de araña, del cable de un tendido eléctrico, que sirve para el cálculo mediante el carbono 14 de la edad de un fósil, o ser el origen del interés compuesto de una cuenta bancaria o del cálculo del crecimiento de una población de bacterias.

Este post tiene la estructura y extensión que he querido darle, porque en los anteriores he tenido respuestas de todo tipo: que si faltaban fórmulas para comprenderlo, o bien que sobraban fórmulas. Aquí he adoptado una fórmula intermedia, con gráficos sencillos de comprender.

Tal vez para el próximo post me atreva con los números perfectos, para cambiar de tercio un poco más adelante, entrando en el arte impresionista en la pintura. Curioso giro, ¿no?.

El número PI, y sus cosas

El anterior post trataba del número áureo o proporción áurea, con todas las curiosidades y propiedades de dicho número, así como las investigaciones que se la han dedicado, y la presencia de la proporción áurea en la naturaleza, así como en obras de arte, tanto en pintura como en escultura. Quien quiera verlo, si no lo ha hecho anteriormente, no tiene más que visitar el post precedente a este.

Al igual que el número áureo, el número Pi es un número irracional, (de infinitas cifras decimales), cuyo valor es el cociente entre la longitud de una circunferencia y la longitud de su diámetro. Es frecuente su uso en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico aproximado de π es 3,14159 y un sinfín de decimales. Abreviadamente se suele representar como 3,1416.

ES un número muy estudiado en matemáticas, siendo los primeros datos que conocemos de alrededor de 1.700 años antes de Cristo, mencionado en un documento llamado el Papiro de Ahmes. Según los diversos cálculos, se le dio el valor de aproximadamente 3,16.

Arquímedes, alrededor de 250 años antes de Cristo hizo unos cálculos en los que dedujo que el valor de Pi estaba comprendido entre 3,1408 y 3,1452, utilizando en sus cálculos un  valor de Pi de 3,14163, relacionando el círculo con su diámetro.

En nombre de Pi, y su representación simbólica con esa letra del alfabeto griego fue popularizado por Leonhard Euler en el siglo XVIII, siendo adoptado desde entonces.

Una de las pasiones de muchos matemáticos ha sido calcular el mayor número posible de decimales del número irracional Pi. También ha sido objeto de récords de diverso tipo por personas capaces de recordar y recitar el mayor número posible de decimales, logrando el Récord Guinness.

El 20 de noviembre de 2005 un chino llamado Chao Lu recitaba números decimales del número Pi, sin parar, durante 24 horas y cuatro minutos, que fue grabado por 26 cámaras y contemplado por muchos testigos de la Universidad de Agricultura y Ciencias Forestales del Noroeste, en la provincia china de Shaanxi. Chao Lu cantó de memoria 67.890 decimales del número Pi. Su hazaña fue certificada por el Libro Guinness de los récords, porque no tuvo ni un solo fallo.

Cuando nacieron los primero ordenadores, uno de los modos más habituales de comprobar la eficacia de los mismos era usarlos para calcular decimales de Pi. En uno de los primeros ordenadores de la historia, el ENIAC, calculó en 1949 hasta 2037 decimales en 70 horas.

Más adelante, en 1966, un ordenador IBM 7030 llego hasta las 250.000 cifras decimales en 8 h y 23 minutos y ya en este siglo XXI, en 2004 un superordenador Hitachi estuvo trabajando 500 horas para calcular 1,3511 billones de posiciones decimales.

Como curiosidad, el día internacional del numero PI se celebra el 14 de marzo, ya que en la nomenclatura anglosajona el 13 de Marzo se representa como 3/14.

Otra curiosidad es que Hans-Henrik Stolum, de la Universidad de Cambridge, hizo un estudio de la longitud de los ríos desde su nacimiento hasta su desembocadura y su longitud en línea recta, descubriendo que la relación entre estas dos longitudes es aproximadamente 3,14.

Como el número áureo, el número Pi atrae a numerosos estudiosos sobre el mismo por sus características peculiares, como número irracional que es.